Aljabar dapat di defenisikan sebagai manipulasi simbol-simbol.
Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu
sekitar tahun 1800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad kesembilan belas
disebut “aljabar klasikal” sedangkan aljabar sesudah abad kesembilan belas
(hingga sekarang) disebut “aljabar modern” atau “aljabar abstrak”.
Aljabar klasik mempunyai ciri (karakteristik) bahwa
setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu.
Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah bilangan bulat, bilangan real, dan
bilangan kompleks. Pada abad ke-17 dan abad ke-18 para ahli matematika tidak
memahami benar tentang akar pangkat dua dari bilangan negative. Hal tersebut
berlangsung hingga abad ke-19 dan pada permulaan aljabar modern barulah
diperoleh penje;asan yang baik tentang bilangan kompleks yang telah diketahui.
Pada abad kesembilan belas, secara berangsur-angsur
ternyata bahwa symbol-simbol matematika tidak perlu hanya menyatakan suatu
bilangan, dan pada kenyataannya simbol-simbol tersebut dapat berupa apa saja. Dari
kenyataan itu maka muncullah apa yang disebut aljabar modern atau aljabar
abstrak.
Sebagai contoh, misalnya simbol-simbol tersebut dapat melambangkan
kesimetrian dari suatu benda atau bangun, dapat melambangkan posisi dari suatu
jaringan, dapat melambangkan suatu instruksi terhadap suatu mesin, atau dapat
melambangkan suatu rancangan atau desain dari sebuah eksperimen statistik. Symbol-simbol
tersebut dapat digunakan untuk memanipulasi sebarang aturan-aturan dari
bilangan-bilangan. Misalnya, polinom 3x2+2x+1 dapat di jumlahkan
atau dikalikan dengan polinom yang lainnya, tanpa menginterpretasikan bahwa x
sebagai suatu bilangan.
Aljabar modern mempunyai dua kegunaan yang mendasar. Kegunaan
yang pertama adalah untuk menentukan pola-pola atau kesimetrian didalam
kehidupan sehari-hari dan didalam matematika. Misalnya, untuk menentukan
perbedaan formasi Kristal dari suatu substansi kimia, dan dapat menentukan
kesesuaian antara jaringan sirkuit listrik dengan aljabar dari
himpunan-himpunan. Kegunaan yang kedua dari aljabar modern adalah perluasan sistem-sistem
bilangan untuk digunakan dalam system-sistem lainnya.
Suatu himpunan
dengan satu atau lebih operasi-operasi yang terdefenisi pada himpunan itu
disebut stuktur aljabar. Himpunan tersebut
dinamakan himpunan dasar dari struktur aljabar. Aljabar modern mempelajari
struktur-struktur aljabar tersebut, dan pada pembicaraan selanjutnya akan
dibahas tentang macam-macam tipe dari struktur aljabar. Misalnya suatu group
adalah struktur aljabar yang terdiri dari suatu himpunan dasar dengan satu
operasi dasar yang berlaku pada himpunan tersebut yang memenuhi sifat tertentu,
demikian pula suatu field adalah suatu struktur aljabar yang terdiri atas suatu
himpunan dasar dengan dua operasi dasar yang berlaku pada himpunan dasar
tersebut yang memenuhi sifat-sifat tertentu.
Namun sebelum membahas macam-macam struktur-struktur
aljabar tersebut, pada bab I ini akan dibahas terlebih dahulu beberapa konsep
matematika sebagai prasyarat untuk membantu kelancaran pembahasan
struktur-struktur aljabar, diantaranya : himpunan, sifat-sifat bilangan bulat,
induksi matematika, aritmetika modular, relasi ekuivalen, fungsi atau pemetaan,
dan bilangan kompleks. (Aljabar Abstrak, Drs. Sukanto Sukandar Madio, M. Pd)
