PENDAHULUAN STRUKTUR ALJABAR (ALJABAR ABSTRAK)

Aljabar dapat di defenisikan sebagai manipulasi simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun 1800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad kesembilan belas disebut “aljabar klasikal” sedangkan aljabar sesudah abad kesembilan belas (hingga sekarang) disebut “aljabar modern” atau “aljabar abstrak”.

Aljabar klasik mempunyai ciri (karakteristik) bahwa setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah bilangan bulat, bilangan real, dan bilangan kompleks. Pada abad ke-17 dan abad ke-18 para ahli matematika tidak memahami benar tentang akar pangkat dua dari bilangan negative. Hal tersebut berlangsung hingga abad ke-19 dan pada permulaan aljabar modern barulah diperoleh penje;asan yang baik tentang bilangan kompleks yang telah diketahui.

Pada abad kesembilan belas, secara berangsur-angsur ternyata bahwa symbol-simbol matematika tidak perlu hanya menyatakan suatu bilangan, dan pada kenyataannya simbol-simbol tersebut dapat berupa apa saja. Dari kenyataan itu maka muncullah apa yang disebut aljabar modern atau aljabar abstrak.

Sebagai contoh, misalnya simbol-simbol tersebut dapat melambangkan kesimetrian dari suatu benda atau bangun, dapat melambangkan posisi dari suatu jaringan, dapat melambangkan suatu instruksi terhadap suatu mesin, atau dapat melambangkan suatu rancangan atau desain dari sebuah eksperimen statistik. Symbol-simbol tersebut dapat digunakan untuk memanipulasi sebarang aturan-aturan dari bilangan-bilangan. Misalnya, polinom 3x²+2x+1 dapat di jumlahkan atau dikalikan dengan polinom yang lainnya, tanpa menginterpretasikan bahwa x sebagai suatu bilangan.

Aljabar modern mempunyai dua kegunaan yang mendasar. Kegunaan yang pertama adalah untuk menentukan pola-pola atau kesimetrian didalam kehidupan sehari-hari dan didalam matematika. Misalnya, untuk menentukan perbedaan formasi Kristal dari suatu substansi kimia, dan dapat menentukan kesesuaian antara jaringan sirkuit listrik dengan aljabar dari himpunan-himpunan. Kegunaan yang kedua dari aljabar modern adalah perluasan sistem-sistem bilangan untuk digunakan dalam system-sistem lainnya.

Suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi-operasi yang terdefenisi pada himpunan itu disebut stuktur aljabar. Himpunan tersebut dinamakan himpunan dasar dari struktur aljabar. Aljabar modern mempelajari struktur-struktur aljabar tersebut, dan pada pembicaraan selanjutnya akan dibahas tentang macam-macam tipe dari struktur aljabar. Misalnya suatu group adalah struktur aljabar yang terdiri dari suatu himpunan dasar dengan satu operasi dasar yang berlaku pada himpunan tersebut yang memenuhi sifat tertentu, demikian pula suatu field adalah suatu struktur aljabar yang terdiri atas suatu himpunan dasar dengan dua operasi dasar yang berlaku pada himpunan dasar tersebut yang memenuhi sifat-sifat tertentu.

Namun sebelum membahas macam-macam struktur-struktur aljabar tersebut, pada bab I ini akan dibahas terlebih dahulu beberapa konsep matematika sebagai prasyarat untuk membantu kelancaran pembahasan struktur-struktur aljabar, diantaranya : himpunan, sifat-sifat bilangan bulat, induksi matematika, aritmetika modular, relasi ekuivalen, fungsi atau pemetaan, dan bilangan kompleks. (Aljabar Abstrak, Drs. Sukanto Sukandar Madio, M. Pd)